Что такое триангуляция в геодезии. Государственная геодезическая сеть

Владельцы патента RU 2423720:

Изобретение относится к области радиолокации и вычислительной техники. В способе триангуляции целей используется метод определения трех пространственных координат объекта разведки по информации двухкоординатных пеленгаторов, независимо измеряющих азимут и угол места объекта. В рассматриваемом методе определяется точка сближения пеленгов в пространстве. Определяемая точка находится на минимальном расстоянии от двух пеленгов. Пеленг цели задается точкой стояния источника пеленга и направлением на цель из точки стояния. Точка стояния определяется координатами (х, у, h), направление на цель задается азимутом и углом места. Параметры задаются в левой прямоугольной системе координат. Способ позволяет определить дополнительные данные пространственного расположения пеленгов в окрестности точки сближения. Достигаемый технический результат - разделение реальных и ложных целей, уменьшение времени локации с использованием активных средств, усиление возможностей пассивной разведки целей. 1 ил.

Область техники

Данное техническое решение относится к области радиолокации и вычислительной техники, а именно к определению местоположения объекта путем сопоставления в одной системе координат двух и более найденных направлений на объект.

Уровень техники

Требования к возможностям методов триангуляции для определения координат объектов возрастают для применения в области разведки излучающих воздушных объектов. Повышаются требования к точности определения координат. Количество объектов может быть большим. Использование активных средств локации (облучение объекта) допускается только кратковременное. Не должно быть ограничений на дислокацию и перемещения пеленгаторов.

Известные методы триангуляции (Л1), определяющие координаты объекта на плоскости XY или пространственные координаты объекта, используют допущение о наличии точки пересечения пеленгов на плоскости или в пространстве. Для триангуляционной системы, состоящей из двух пеленгаторов, такое допущение означает, что оба пеленга и база пеленгаторов должны лежать в одной плоскости. Для определения координат цели на плоскости ХУ по однокоординатным пеленгаторам (только азимут) такое допущение приемлемо. С появлением двухкоординатных пеленгаторов (азимут и угол места) и определением трех пространственных координат цели такое допущение приводит к усложнению решения задачи. В (Л1) приводится алгоритм определения трех пространственных координат цели по информации четырех двухкоординатных пеленгаторов. Эти пеленгаторы должны размещаться определенным образом, что практически исключает возможность работы в движении. Кроме того, для решения задачи размножения целей нужна дополнительная информация, получение которой требует облучения объекта.

Аналогом заявляемого способа триангуляции целей является Способ формирования маршрута носителя пеленгатора, определяющего местоположение излучателя методом триангуляции (патент на изобретение RU 2303794 C2, заявка 2005126126 от 17.08.2006, МПК G01S 5/02, опубликован 27.02.2007).

Достоинством способа для рассматриваемой области применения является необходимость только одного пеленгатора и пассивные средства определения местоположения излучателя. Однако излучатель должен быть только неподвижным, координаты определяются на плоскости, пеленгатор должен перемещаться по определенному маршруту. Для рассматриваемой области применения способ не приемлем.

Другими аналогами можно назвать Способ бесконтактного измерения толщины объекта (патент на изобретение SU 1826697 А1, заявка 4829581 от 25.05.1990, МПК G01B 11/06, опубликован 10.06.1996) и Способ бесконтактного измерения толщины (патент на изобретение SU 1826698 А1, заявка 4844737 от 25.05.1990, МПК G01B 11/06, опубликован 10.06.1996).

Способ бесконтактного измерения толщины объекта для случая определения координат подвижных целей не приемлем, так как требует активного облучения контролируемого объекта и определенной взаимной ориентации источников облучения и приемников световых пятен.

Наиболее близким аналогом (прототипом) заявляемого способа триангуляции целей является Способ создания космической геодезической сети (патент на изобретение RU №2337372 C2, заявка 2006101927 от 27.07.2007, МПК G01S 5/00, опубликован 27.10.2008), включающий дальномерные, доплеровские и фотографические измерения с пунктов космической геодезической сети на геодезический спутник и уравнивание этих измерений динамическим методом космической геодезии с разбиением совокупности всех измерений на группу измерений, равномерно распределенных на длинных орбитальных дугах для отнесения начала координат космический геодезической сети к центру масс Земли, и на группу измерений, отнесенных на короткие орбитальные дуги для уточнения взаимного положения пунктов космической геодезической сети, с включением в короткие дуги в качестве неизвестных элементов взаимного трансформирования решений по длинным и коротким дугам, при этом выполняют дополнительные дальномерные измерения между геодезическим спутником и спутниками космической навигационной системы для заполнения разрывов в совокупности измерений на длинных орбитальных дугах и дальномерные измерения с части пунктов космической геодезической сети до спутников космической навигационной системы, отличающийся тем, что используют второй геодезический космический аппарат, разнесенный по орбите от первого геодезического космического аппарата на некоторое линейное расстояние, и методом космической триангуляции определяют координаты подвижного космического объекта, для чего указанными выше дальномерными, доплеровскими и фотографическими измерениями уточняют базис между геодезическими космическими аппаратами, осуществляют привязку подвижного космического объекта к каталожным звездам, координаты которых точно определены в абсолютной системе координат, а углы между базисом и направлениями «геодезический космический аппарат - космический объект» измеряют бортовой оптико-электронной аппаратурой, установленной на борту каждого геодезического космического аппарата, по измеренным значениям базиса и двух углов определяют стороны измерительного треугольника, в вершинах которого в момент измерений находятся два геодезических космических аппарата и космический объект соответственно, и тем самым измеряют дальности между геодезическими космическими аппаратами и космическим объектом, по которым определяют радиус-вектор космического объекта в инерциальной системе координат в момент проведения измерений, дифференцируют по времени координаты космического объекта, полученные в серии измерений с заданным шагом, определяя тем самым вектор скорости космического объекта на заданный момент времени, по измеренным значениям радиус-вектора и вектора скорости космического объекта на заданный момент времени определяют параметры орбиты космического объекта.

Достоинством прототипа является возможность определения, кроме местоположения объекта, еще скорости и орбиты перемещения объекта.

Однако недостатком предлагаемого прототипа является то, что способ ориентирован на определение параметров космического объекта, требует для реализации использования космической геодезической сети, спутников навигационной системы, координат каталожных звезд, что затрудняет использование способа для определения координат воздушных целей у поверхности земли.

Сущность изобретения

Известен способ триангуляции целей, реализуемый с помощью двух двухкоординатных пеленгаторов с координатами P1 (x 1 , у 1 , h 1) и Р2 (х 2 , у 2 , h 2) точек стояния пеленгаторов, определяющих B 1 , E 1 и В 2 , Е 2 - азимут и угол места пеленга p 1 и р 2 и использующих эти данные для обработки с помощью средств вычислительной техники.

Целью создания предлагаемого изобретения является решение актуальной задачи определения пространственных координат излучающих воздушных объектов с использованием в основном пассивных средств локации.

В рассматриваемом методе по координатам точек размещения двух пеленгаторов и направлений двух пеленгов на объект определяются координаты точки сближения пеленгов, находящейся между двумя пеленгами на ближайшем расстоянии от пеленгов, и определяется расстояние между пеленгами в точке сближения.

Задача решается использованием нижеприведенного алгоритма обработки входных данных:

P1(x 1 , у 1 , h 1) точка стояния пеленгатора P1;

Р2(х 2 , у 2 , h 2) точка стояния пеленгатора Р2;

B 1 , E 1 азимут и угол места пеленга р 1 ;

В 2 , Е 2 азимут и угол места пеленга р 2 ;

шаг 1 - определяются направляющие косинусы cosa x , cosa y , cosa h линии пеленга p 1 и направляющие косинусы cosb x , cosb y , cosb h линии пеленга р 2:

для пеленга p 1:

cosa x =cos(E 1)cos(B 1);

cosa y =cos(E 1)sin(B 1);

cosa h =sin(E 1);

для пеленга р 2:

cosb x =cos(E 2)cos(B 2);

cosb y =cos(E 2)sin(B 2);

cosb h =sin(E 2);

шаг 2 - определяется расстояние t 1 от точки стояния пеленгатора Р1 до точки P t1 на линии пеленга p 1 , для которой расстояние до линии пеленга р 2 минимальное:

b 2 =cosa h (y 2 -у 1)-cosa y (h 2 -h 1);

b 3 =cosa y (x 2 -x 1)-cosa x (у 2 -у 1);

шаг 3 - определяется расстояние t 2 от точки стояния пеленгатора Р2 до точки P t2 на линии пеленга р 2 , для которой расстояние до линии пеленга p 1 минимальное:

,

а 2 =cosb y cosa h -cosb h cosa y ;

а 3 =cosb x cosa y -cosb y cosa x ;

b 2 =cosb h (y 2 -у 1)-cosb y (h 2 -h 1);

b 3 =cosb y (x 2 -x 1)-cosb x (у 2 -у 1);

шаг 4 - определяются координаты точки P t1 и точки P t2:

координаты точки P t1:

x t1 =x 1 +t 1 ·cosa x ;

y t1 =у 1 +t 1 ·cosa y ;

h t1 =h 1 +t 1 ·cosa h ;

координаты точки P t2:

x t2 =x 2 +t 2 ·cosb x ;

y t2 =у 2 +t 2 ·cosb y ;

h t2 =h 2 +t 2 ·cosb h ;

шаг 5 - вычисляется значение признака С Р совместимости пеленгов p 1 и р 2:

расстояние между точками P t1 и P t2:

d r =δ φ ·t 1 +δ φ ·t 2 ,

если значения t 1 и t 2 положительные и если значение d меньше d r , то значение признака С Р устанавливается 1, иначе 0;

при нулевом значении признака С Р пеленги несовместимы, определение координат точки P S (шаг 6) не выполняется;

шаг 6 - определяются выходные данные - координаты точки P S на отрезке P t1 P t2 , для которой расстояние до линии пеленга p 1 и до линии пеленга р 2 минимальное:

h s =(h t1 ·t 1 +h t2 ·t 2)/(t 1 +t 2).

Метод позволяет определить три пространственные координаты объекта по двум пеленгам, уменьшить количество ложных целей, обеспечивает возможность определения координат объекта на стоянке носителей пеленгаторов и в движении, позволяет уменьшить время активной локации объекта и получить уточненные координаты цели при количестве пеленгов больше двух.

На чертеже изображена диаграмма размещения пеленгаторов и целей.

Пример варианта реализации заявляемого способа

Метод предназначен для использования в решении задачи отождествления целей и задачи постановки целей на сопровождение. Ниже рассматривается метод определения трех пространственных координат объекта разведки по информации двухкоординатных пеленгаторов, независимо измеряющих азимут и угол места объекта.

По двум и более пеленгам цели требуется определить координаты цели. Пеленг цели задается точкой стояния источника пеленга и направлением на цель из точки стояния. Точка стояния определяется координатами (х, у, h), направление на цель задается азимутом (В) и углом места (Е). Параметры задаются в левой прямоугольной системе координат.

Вычисление координат цели по двум пеленгам.

Имеем два пеленга цели р 0 и p 1:

r 0 , r 1 - векторы точек стояния источников пеленгов;

t - параметр.

Произвольно выберем один из этих пеленгов, пусть р 0 , как «опорный», тогда другой пеленг p 1 будем считать «парным» к опорному. При изменении параметра t от нуля в положительную сторону точка на опорной линии будет перемещаться от точки стояния (x 0 у 0 h 0) в направлении, задаваемом направляющим вектором а 0 . Расстояние от этой движущейся точки до прямой p 1 , то есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на парную прямую, определяется выражением (Л2):

Если оба пеленга относятся к одной цели, то в окрестности цели значение d должно быть минимальным. Параметр t, при котором d достигает минимального значения, можно определить, продифференцировав выражение (2) по t. Если задать для перемещения точки на линии опорного пеленга единичную скорость, то численно полученная величина t будет равна длине отрезка от начальной точки до той точки, для которой d минимально.

Повторив аналогичные вычисления, считая теперь пеленг p 1 опорным, а пеленг р 0 парным, получим точку на линии p 1 , для которой линия р 0 находится на ближайшем расстоянии. Если ошибки источников пеленгов неизвестны или они одинаковые, точкой цели можно считать середину отрезка между найденными точками. Если источники пеленгов имеют большую разницу точности определения направления, отрезок между найденными точками следует поделить пропорционально отношению среднеквадратичных ошибок этих источников в сторону точки той линии пеленга, для которой ошибки меньше.

Определение значения t

Для рассматриваемой задачи выражение (2) можно упростить. Если использовать не коэффициенты направляющего вектора, а направляющие косинусы линий пеленга, то знаменатель выражения (2) будет равен единице. Если значение t искать не для минимального d, а для квадрата этой величины, то скалярная форма для выражения (2) не будет иметь квадратного корня. С учетом этого для левой прямоугольной системы координат выражение для f(t) будет следующее:

cosa x , cosa y , cosa h - направляющие косинусы опорного пеленга;

cosb x , cosb y , cosb h - направляющие косинусы парного пеленга;

x 0 у 0 h 0 - координаты точки стояния источника опорного пеленга;

x 1 у 1 h 1 - координаты точки стояния источника парного пеленга.

Точка на линии опорного пеленга принимает значения:

x t =x 0 +tcosa x ;

y t =у 0 +tcosa y ;

h t =h 0 +tcosa h .

Относительно искомой величины t выражение (3) преобразуется к виду:

a 1 =cosa h cosb x -cosa x cosb h ;

а 2 =cosa y cosb h -cosa h cosb y ;

а 3 =cosa x cosb y -cosa y cosb x ;

b 1 =cosa x (h 1 -h 0)-cosa h (x 1 -x 0);

b 2 =cosa h (у 1 -у 0)-cosa y (h 1 -h 0);

b 3 =cosa y (x 1 -x 0)-cosa x (у 1 -у 0);

cosa x =cos(E a)cos(B a);

cosa y =cos(E a)sin(B a);

cosa h =sin(E a);

cosb x =cos(E b)cos(B b);

cosb y =cos(E b)sin(B b);

cosb h =sin(E b).

Значение функции f(t) будет минимальным, когда:

2(a 1   2 +а 2   2 +а 3   2)t+2(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3)=0

А=a 1   2 +a 2   2 +а 3   2

В=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3

Анализ результата решения

Величина t отрицательна. Знак t определяется только значением В, так как знаменатель (5) всегда положительный. При положительном В t имеет знак минус. Это означает, что линии пеленгов сближаются, но не в положительном направлении. В положительном направлении они расходятся. Это будет происходить в двух случаях. Первый - пеленги относятся к разным целям. Другой случай - пеленги относятся к одной цели, но слишком мала база измерения для тех ошибок, с которыми пеленги определяются. В обоих случаях использовать полученный результат для вычисления координат цели нельзя.

Величина t положительна, но слишком велика. Это будет в случае, когда линии пеленгов почти параллельны. Требуется дополнительный анализ такой ситуации. Если анализ показывает реальность такой большой дальности до цели, полученный результат используется.

Величина t положительна, но близка к нулю. Это будет в следующих случаях. Первый - редкий случай, когда пеленги случайно оказались параллельными. При этом расстояние между линиями пеленгов одинаково и равно базе измерений. Нельзя использовать полученный результат. Второй - цель оказалась близкой к точке стояния источника пеленга, для которого пеленг выбран как опорный. Требуется дополнительная проверка: сумма значений t для рассматриваемых двух пеленгов не должна быть меньше базы измерений. При выполнении проверки результат используется.

Определение координат цели по n пеленгам.

Если пеленгов цели больше двух, путем усреднения независимо полученных координат цели можно получить уточненные координаты цели.

Имеем n пеленгов цели от разных пеленгаторов. Выбирая каждый пеленг как опорный, и все оставшиеся (n-1) пеленгов как парные, по (5) получаем (n-1) отметок t i на линии каждого пеленга. Вычисляем среднее значение t si для каждого пеленга:

Вычисляем прямоугольные координаты точки на линии каждого пеленга:

x ci =x i +t si cosa xi ;

y ci =y i +t si cosa yi ;

h ci =h i +t si cosa hi .

Вычисляем прямоугольные координаты точки цели по значениям координат для n полученных точек:

Совместимость пеленгов

Совместимые пеленги - это пеленги от двух разных источников, которые потенциально могут принадлежать одной и той же цели. Первым условием совместимости является положительное значение t для двух пеленгов, то есть пеленги пересекаются в положительном направлении.

Другое условие совместимости пеленгов: расстояние между пеленгами в точке сближения не может превышать расчетное максимальное значение.

Максимальное расчетное расстояние между пеленгами p 1 и p 2:

d r =δ φ1 ·t 1 +δ φ2 ·t 2 ,

где δ φ1 , δ φ2 - максимальное отклонение пеленга p 1 и пеленга р 2 по углу, определенные для пеленгаторов Р1 и Р2 для максимальных ошибок пеленгации.

Расстояние между точками линий пеленгов P t1 и P t2:

d=[(x t1 -x t2) 2 +(y t1 -y t2) 2 +(h t1 -h t2 ] 1/2 ;

где координаты точки P t1:

x t1 =x 1 +t 1 ·cosa x ;

y t1 =у 1 +t 1 ·cosa y ;

h t1 =h 1 +t 1 ·cosa h ;

координаты точки P t2:

x t2 =x 2 +t 2 ·cosb x ;

y t2 =у 2 +t 2 ·cosb y ;

h t2 =h 2 +t 2 ·cosb h .

Если определенное значение d превышает расчетное значение d r , то пеленги несовместимы, точка сближения Ps - это ложная цель.

Разделение пеленгов по углу места

Разделение пеленгов по углу места дает дополнительную информацию для определения ложных целей. Определим угол между двумя пеленгами по углу места. Этот угол не может превышать некоторого максимального значения. Это значение определяется максимальным отклонением пеленга по углу места от направления на точку цели и равно сумме отклонений углов для двух пеленгов. Если найденное значение угла превышает максимальное значение, то даже для худшего сочетания отклонений пеленгов по углу места точка цели не может одновременно принадлежать двум пеленгам, точка Ps - это ложная цель. Определение значения угла между пеленгами приведено ниже.

P 1 (x 1 у 1 h 1) - точка стояния источника пеленга P 1 ;

P 2 (х 2 у 2 h 2) - точка стояния источника пеленга P 2 ;

P s (x s у s h s) - точка сближения пеленгов P 1 и P 2 ;

Уравнение плоскости, на которой лежат эти три указанные точки:

где А=x 1 (h 2 -h s)-h 1 (x 2 -x s)+(x 2 h s -h 2 x s);

В=h 1 (y 2 -y s)-y 1 (h 2 -h s)+(h 2 y s -y s h s);

С=у 1 (x 2 -x s)-x 1 (y 2 -y s)+(y 2 x s -x s y s);

D=у 1 (x 2 h s -h 2 x s)-x 1 (y 2 h s -y s h 2)+h 1 (y 2 x s -x 2 y s).

Пусть максимальная ошибка по углу места δ е одинакова для пеленгов. Если δ е равна нулю, то точка цели и оба пеленга лежат на плоскости. Если δ е не равна нулю, то отклонение пеленгов от плоскости не может превысить δ е и значение суммарного угла для двух пеленгов 2δ е.

Углы пеленгов а1 и al с проекцией пеленгов на плоскости определяется по формуле:

sin(a1)=(A*cosa y1 +В*cosa x1 +С*cosa h1)/sqrt(A 2 +B 2 +С 2);

sin(a2)=(A*cosa y2 +В*cosa x2 +С*cosa h2)/sqrt(A 2 +В 2 +С 2).

Если оба пеленга имеют отклонения а1 и а2, лежат по разные стороны от плоскости, то угол между пеленгами, то есть сумма абсолютных значений а1 и а2, не может превышать 2δ е.

Промышленная применимость

Данное предлагаемое изобретение промышленно реализуемо, обладает достаточной точностью получения координат для постановки целей на сопровождение, обеспечивает возможность работы оптоэлектронных станций обнаружения целей на стоянке и в движении, уменьшает общее время активного облучения целей триангуляционной системы.

При разработке и исследовании данной методики была создана цифровая модель оптоэлектронной станции. Проверка методики выполнена при постановке различных сценариев налета воздушных целей и различной установки станций на местности. Проверки показали актуальность решаемой задачи и преимущества предлагаемого способа.

Предлагаемый метод включается в состав алгоритмов комплекса программ «Триангуляция», предназначенного для решения задачи определения пространственных координат излучающего воздушного объекта по информации оптоэлектронных станций обнаружения объектов.

Литература

1. А.И.Куприянов, А.В.Сахаров. Теоретические основы радиоэлектронной борьбы. Москва. «Вузовская книга», 2007 г.

2. Г.Корн и Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва. «Наука», 1974 г.

Способ триангуляции целей, реализуемый с помощью двух двухкоординатных пеленгаторов с координатами P 1 (x 1 , y 1 , h 1) и P 2 (x 2 , y 2 , h 2) точек стояния пеленгаторов, определяющих B 1 , E 1 и В 2 , Е 2 - азимут и угол места пеленга p 1 и р 2 и использующих эти данные для обработки с помощью средств вычислительной техники, отличающийся тем, что координаты цели определяются на стоянке носителей пеленгаторов и в движении, координаты двухкоординатных пеленгаторов задают в левой прямоугольной системе координат, пеленг цели задают точками стояния двух двухкоординатных пеленгаторов и направлением на цель из точек их стояния, при этом один из пеленгаторов p 1 выбирают «опорным», а другой р 2 «парным» к опорному, затем считают пеленг p 2 опорным, a p 1 парным к опорному и для обоих случаев повторяют аналогичные вычисления в виде:
шаг 1 - определяются направляющие косинусы cosa x , cosa y , cosa h линии пеленга p 1 и направляющие косинусы cosb x , cosb y , cosb h линии пеленга p 2:
для пеленга p 1:
cosa x =cos(E 1)cos(B 1);
cosa y =cos(E 1)sin(B 1);
cosa h =sin(E 1);
для пеленга р 2:
cosb x =cos(E 2)cos(B 2);
cosb y =cos(E 2)sin(B 2);
cosb y =sin(E 2),
шаг 2 - определяется расстояние t 1 от точки стояния пеленгатора Р1 до точки Р t1 на линии пеленга p 1 , для которой расстояние до линии пеленга p 2 минимальное:
,
где a 1 =cosa h cosb x -cosa x cosb h ;
a 2 =cosa y cosb h -cosa h cosb y ;
a 3 =cosa x cosb y -cosa y cosb x ;
b 1 =cosa x (h 2 -h 1)-cosa h (x 2 -x 1);
b 2 =cosa h (y 2 -y 1)-cosa y (h 2 -h 1);
b 3 =cosa y (x 2 -x 1)-cosa x (y 2 -y 1);
шаг 3 - определяется расстояние t 2 от точки стояния пеленгатора Р2 до точки Р t2 на линии пеленга р 2 , для которой расстояние до линии пеленга p 1 минимальное:

где a 1 =cosb h cosa x -cosb x cosa h ;
a 2 =cosb y cosa h -cosb h cosa y ;
a 3 =cosb x cosa y -cosb y cosa x ;
b 1 =cosb x (h 2 -h 1)-cosb h (x 2 -x 1);
b 2 =cosb h (y 2 -y 1)-cosb y (h 2 -h 1);
b 3 =cosb y (x 2 -x 1)-cosb x (y 2 -y 1);
шаг 4 - определяются координаты точки P t1 и точки Р t2:
координаты точки Р t1:
x t1 =x 1 +t 1 ·cosa x ;
y t1 =y 1 +t 1 ·cosa y ;
h t1 =h 1 +t 1 ·cosa h ;
координаты точки Р t2:
x t2 =x 2 +t 2 ·cosb x ;
y t2 =y 2 +t 2 ·cosb y ;
h t2 =h 2 +t 2 ·cosb h ;
шаг 5 - вычисляется значение признака С р совместимости пеленгов p 1 и р 2:
расстояние между точками Р t1 и P t2:
d=[(x t1 -x t2) 2 +(y t1 -y t2) 2 +(h t1 -h t2) 2 ] 1/2 ;
максимальное возможное расстояние между пеленгами p 1 и р 2:
d r =δ φ ·t 1 +δ φ ·t 2 ,
где δ φ - максимальное угловое отклонение пеленгов от точки цели, определенное для пеленгаторов для максимальных ошибок пеленгации;
если значения t 1 и t 2 положительные и если значение d меньше d r , то значение признака С р устанавливается 1, иначе 0;
при нулевом значении признака С р пеленги несовместимы, определение координат точки P s (шаг 6) не выполняется и точку сближения пеленгов Ps считают ложной целью;
шаг 6 - определяются выходные данные - координаты точки P s на отрезке Р t1 Р t2 , для которой расстояние до линии пеленга p 1 и до линии пеленга р 2 минимальное:
x s =(x t1 ·t 1 +x t2 ·t 2)/(t 1 +t 2);
y s =(y t1 ·t 1 +y t2 ·t 2)/(t 1 +t 2);
h s =(h t1 ·t 1 +h t2 ·t 2)/(t 1 +t 2);
по результатам проведенных вычислений определяют координаты цели и ставят цель на сопровождение.

; 3 — трилатерация .

Метод триангуляции. Принято считать, что метод триангуляции впервые был предложен голландским ученым Снеллиусом в 1614 г. Этот метод широко применяется во всех странах. Сущность метода заключается в следующем. На командных высотах местности закрепляют систему геодезических пунктов, образующих сеть треугольников (рис. 13). В Сеть триангуляции этой сети определяют координаты исходного пункта А, измеряют горизонтальные углы в каждом треугольнике, а также длины b и азимуты а базисных сторон, задающих масштаб и ориентировку сети по азимуту.

Сеть триангуляции может быть построена в виде отдельного ряда треугольников, системы рядов треугольников, а также в виде сплошной сети треугольников. Элементами сети триангуляции могут служить не только треугольники, но и более сложные фигуры: геодезические четырехугольники и центральные системы.

Основными достоинствами метода триангуляции являются его оперативность и возможность использования в разнообразных физико-географических условиях; большое число избыточных измерений в сети, позволяющих непосредственно в поле осуществлять надежный контроль всех измеренных величин; высокая точность определения взаимного положения смежных пунктов в сети, особенно сплошной. Метод триангуляции получил наибольшее распространение при построении государственных геодезических сетей.

Метод полигонометрии . Этот метод известен также давно, однако применение его при создании государственной геодезической сети сдерживалось до недавнего времени.

Полигонометрический ход трудоемкостью линейных измерений, выполняемых ранее с помощью инварных проволок. Начиная примерно с шестидесятых годов текущего столетия, одновременно с внедрением в геодезическое производство точных свето и радиодальномеров, метод полигонометрии получил дальнейшее развитие и стал широко применяться при создании геодезических сетей .

Сущность этого метода состоит в следующем. На местности закрепляют систему геодезических пунктов, образующих вытянутый одиночный ход (рис. 14) или систему пересекающихся ходов, образующих сплошную сеть. Между смежными пунктами хода измеряют длины сторон s,-, а на пунктах — углы поворота р. Азимутальное ориентирование полигонометрического хода осуществляют с помощью азимутов, определяемых или заданных, как правило, на конечных пунктах его, измеряя при этом примычные углы у. Иногда прокладывают полигонометрические ходы между пунктами с заданными координатами геодезической сети более высокого класса точности.

Метод полигонометрии в ряде случаев, например, в заселённой местности, на территории крупных городов и т. п. оказывается более оперативным и более экономичным, чем метод триангуляции. Это обусловлено тем, что в таких условиях на пунктах триангуляции строят более высокие геодезические знаки, чем на пунктах полигонометрии, поскольку в первом случае следует обеспечить прямую видимость между гораздо большим числом пунктов, чем во втором. Постройка,же геодезических знаков является самым дорогостоящим видом работ при создании геодезической сети (в среднем 50-60 % всех затрат).

Метод трилатерации. Данный метод, как и метод триангуляции, предусматривает создание на местности геодезических сетей либо в виде цепочки треугольников, геодезических четырехугольников и центральных систем, либо в виде сплошных сетей треугольников, в которых измеряются не углы, а длины сторон. В трилатерации, как и в триангуляции, для ориентирования сетей на местности должны быть определены азимуты ряда сторон.

По мере развития и повышения точности свето- и радиодальномерной техники измерений расстояний метод трилатерации постепенно приобретает все большее значение, особенно в практике инженерно-геодезических работ.

Триангуляция (от лат. triangulum – треугольник) – один из методов создания опорной геодезической сети.
Триангуляция - метод построения на местности ГС в виде треугольников, у которых измерены все углы и базисные выходные стороны (рис.14.1). Длины остальных сторон вычисляют по тригонометрическим формулам (например, a=c . sinA/sinC, b=c . sinA/sinB), затем находят дирекционные углы (азимуты) сторон и определяют координаты.

Принято считать, что метод триангуляции изобрёл и впервые применил В. Снеллиус в 1615–17 гг. при прокладке ряда треугольников в Нидерландах для градусных измерений. Работы по применению метода триангуляции для топографических съёмок в дореволюционной России начались на рубеже 18–19 вв. К началу 20 в. метод триангуляции получил повсеместное распространение.
Триангуляция имеет большое научное и практическое значение. Она служит для: определения фигуры и размеров Земли методом градусных измерений; изучения горизонтальных движений земной коры; обоснования топографических съёмок в различных масштабах и целях; обоснования различных геодезических работ при изыскании, проектировании и строительстве крупных инженерных сооружений, при планировке и строительстве городов и т.д.

В практике допускается вместо триангуляции применять метод полигонометрии. При этом ставится условие, чтобы при построении опорной геодезической сети тем и др. методом достигалась одинаковая точность определения положения пунктов земной поверхности.

Вершины треугольников триангуляции.обозначаются на местности деревянными или металлическими вышками высотой от 6 до 55 м в зависимости от условий местности (см. Сигнал геодезический). Пункты триангуляции в целях долговременной их сохранности на местности закрепляются закладкой в грунт особых устройств в виде металлических труб или бетонных монолитов с вделанными в них металлическими марками (см. Центр геодезический), фиксирующими положение точек, для которых даются координаты в соответствующих каталогах.

3) Спутниковая топографическая съемка

Спутниковая съемка применяется для составления топографических карт обзорного характера или мелкого масштаба. Спутниковые GPS измерения очень точны. Но во избежание применения данной системы для военных нужд, точность была уменьшена с
Топографическая съемка с применением глобальных навигационных спутниковых систем позволяет изображать на топографических планах масштабов 1:5000, 1:2000, 1:1000 и 1:500 с необходимой достоверностью и точностью следующие объекты:

1) пункты триангуляции, полигонометрии, трилатерации, грунтовые реперы и пункты съемочного обоснования, закрепленные на местности (наносятся по координатам);
2) промышленные объекты - буровые и эксплуатационные скважины, нефтяные и газовые вышки, наземные трубопроводы, колодцы и сети подземных коммуникаций (при исполнительной съемке);
3) железные, шоссейные и грунтовые дороги всех видов и некоторые сооружения при них - переезды, переправы и т.п.;
4) гидрография - реки, озера, водохранилища, площади разливов, приливно-отливные полосы и т.д. Береговые линии наносятся по фактическому состоянию на момент съемки или на межень;
5) объекты гидротехнические и водного транспорта - каналы, канавы, водоводы и водораспределительные устройства, плотины, пристани, причалы, молы, шлюзы и др.;
6) объекты водоснабжения - колодцы, колонки, резервуары, отстойники, естественные источники и др.;
7) рельеф местности с применением горизонталей, отметок высот и условных знаков обрывов, воронок, осыпей, оврагов, оползней, ледников и др. Формы микрорельефа изображаются полугоризонталями или вспомогательными горизонталями с отметками высот местности;
8) растительность кустарниковая, травяная, культурная растительность (плантации, луга и др.), отдельно стоящие кусты;
9) грунты и микроформы земной поверхности: пески, галечники, такыры, глинистые, щебеночные, монолитные, полигональные и другие поверхности, болота и солончаки;
10) границы - политико-административные, землепользований и заповедников, различные ограждения.
Множество GPS приборов, представленных на рынке сегодня, позволяет специалистам проводить тщательные замеры при прокладке дорог, строительстве различных сооружений, измерении площади земель, создании карт рельефа местности для добычи нефти и т.п.
Использование компьютерных методов моделирования и совершенство расчетов прекрасно дополняют топографическую съемку .

Известно, что триангуляция как геодезический термин означает способ создания геодезических сетей . Да, это так. Но следует начать с другого.

Изначально с возникновением потребности человека в познании, обычное мышление приводит его к накоплению определенного багажа знаний. С развитием научного мышления все эти знания систематизируются, в том числе разъясняются на основе фактов, явлений и доказательств. Применяя теоретические предположения на практике, возникают своего рода критерии истины. То есть имеют ли подтверждения практическим путем все те предположения, которые с помощью определенных способов дают конкретный результат. Пожалуй, одним из таких научных методов, решающих задачу по высокоточному измерению больших расстояний между пунктами на земной поверхности с построением примыкающих друг к другу треугольников и измерений внутри них стал способ триангуляции.

Первым кто изобрел и применил метод триангуляции (1614-1616), был великий голландский ученый Виллеброрд Снелл (Снеллиус). В те годы уже были предположения о том, что Земля является планетой в космическом пространстве и имеет форму сферы (из космологии Джордано Бруно 1548-1600). Установление точных размеров планеты имело большое практическое значение по ее освоению в дальнейшем. Вот для этого в Нидерландах через постройку ряда треугольников были впервые выполнены градусные измерения дуги меридиана способом триангуляции. Что имеется ввиду. Выполнив измерения между жесткими геодезическими пунктами с разностью широт между ними в один градус (у Снеллиуса 1º11´30") способом триангуляции и получив конкретное расстояние дуги, голландский математик обычным расчетом мог получить длину всей окружности меридиана. Очевидно, что вычислить радиус Земли, приняв ее фигуру за форму шара (эллипса), оставалось делом техники.

В завершение исторического экскурса можно выделить взаимосвязанность и выборность научных познаний для будущего практического применения человеком. И не удивительно, что изобретение способа триангуляции произошло именно в Нидерландах, которые на тот момент считались ведущей морской державой с потребностью новых познаний в навигации, географии, астрономии и конечно геодезии .

Сущность метода

Триангуляция заключается в определении пространственного местоположения специально закрепленных на местности геодезических пунктов в вершинах целого ряда треугольников. Изначально, с высокой степенью точности (до долей секунд) определяют азимуты исходных направлений ab , ba , mn , nm (рис.1.Триангуляционный ряд треугольников по меридиану). Следующим этапом будет определение астрономических координат (широты и долготы) в пунктах измерений азимутов двух исходных базисов. В каждой паре жестких сторон (ab , mn ) координаты измеряются только в одной точке, например a , m (рис.1). При этом следует обратить особое внимание на определение астрономических широт в ряду треугольников, расположенных по направлению меридианов. При измерениях в треугольниках, сформированных вдоль параллелей, необходимо уделить должное внимание определению астрономических долгот. Далее производят измерения длин двух базисных сторон (ab , mn ). Эти стороны имеют сравнительно не большие длины (порядка 8-10 км). Поэтому их измерения более экономичные и точные относительно сторон cd , tq , составляющих расстояния от 30 до 40 км. В следующую очередь выполняется переход от базисов ab , mn через угловые измерения в ромбах abcd и mntq к сторонам cd , tq . А затем последовательно практически в каждой вершине треугольников cde , def , efg и других измеряются горизонтальные углы до примыкания к следующей основной стороне tq всего ряда треугольников. Через измеренные углы треугольника с измеренной базисной или вычисленной основной стороной последовательно вычисляются все другие стороны, их азимуты и координаты вершин треугольников.

Рис.1. Триангуляционный ряд треугольников по меридиану.

Триангуляционные сети

После первого применения градусного измерения дуги Снеллиусом триангуляционный метод становится основным способом в геодезических высокоточных измерениях. С XIX века, когда триангуляционные работы стали более совершенными с его помощью стали формироваться целые геодезические сети , строящиеся вдоль параллелей и меридианов. Самая знаменитая из всех известна под наименованием геодезической меридианной дуги Струве и Теннера (1816-1852) в последствие зачислена в мировое наследие по ЮНЕСКО. Ее триангуляционный ряд протянулся по Норвегии, Швеции, Финляндии и России от Северного Ледовитого океана до Черного моря в устье Дуная и составил дугу в 25º20´(рис.2).

Рис.2.

За основу геодезических сетей триангуляции в нашей стране принята схема профессора Ф.Н.Красовского (рис.3). Ее суть заключается в применении принципа построений от общего к частному. Изначально закладываются вдоль меридианов и параллелей пункты, образующие ряды треугольников протяженностью в пределах 200-240 км. Длины сторон в самих треугольниках составляют 25-40км. Все астрономические измерения азимутов, координат (широт и долгот) выходных точек на пунктах Лапласа (1) и промежуточных астрономических точках (2), высокоточные базисные (3) геодезические измерения и в каждой точке этой цепи должно соответствовать установленным требованиям I класса точности (рис.3). Замкнутый полигон из четырех триангуляционных рядов представляет собой фигуру, напоминающую квадрат с периметром равным ориентировочно около 800 км. Через центральные части первоклассных рядов триангуляции устраиваются в направлении друг к другу основные ряды триангуляционной сети II класса (рис.3) соответствующей точности. Базисные длины сторон в этих рядах не измеряются, а принимаются базисы со сторон триангуляции I класса. Аналогично отсутствуют и астрономические пункты. Возникшие четыре пространства заполняются сплошными триангуляционными сетями и II, и III классов.

Рис.3.Государственные сети триангуляции.

Безусловно описанная схема развития сетей триангуляции по Красовскому не может закрыть всю территорию страны ввиду понятных причин больших лесных и не заселенных территорий страны. Поэтому с запада на восток вдоль параллелей были проложены отдельные ряды первоклассной триангуляции и полигонометрии , а не сплошная триангуляционная сеть.

Достоинства триангуляции

В развитии геодезической науки и ее практического применения очевидны достоинства триангуляционного способа измерений. С помощью этого универсального метода возможно:

• определение положения геодезических точек на значительно удаленных расстояниях;
• выполнение основных работ по строительству геодезических сетей на всей территории страны;
• обеспечение основой всех топографических съемок ;
• выстраивание через основные геодезические работы различных систем координат ;
• производство инженерных и изыскательских работ;
• периодическое определение размеров Земли;
• изучение перемещений земной поверхности.

При проектировании сетей триангуляции должны соблюдаться требования, приведенные в табл.1

Таблица 1

3.1. Расчет количества знаков

При проектировании сети триангуляции 3 и 4 классов необходимо рассчитать количество пунктов отдельного класса.

Требуемая плотность геодезических пунктов при общегосударственном картографировании территории страны зависит от масштаба топографической съемки, методов ее выполнения, а также от методов создания съемочного геодезического обоснования.

Таблица 2

Между длинами сторон треугольников разных классов должны соблюдаться следующие приближенные соотношения:

s 1= s 1 s 2 =0,58s 1 s 3 =0,33s 1 s 4 =0,19s 1 . (1)

Если за исходную принять длину стороны в триангуляции 1 класса, равную в среднем S 1 = 23 км, то по формулам (1) получим следующие длины сторон треугольников в сетях триангуляции 2-4 классов (табл. 3).

Таблица 3

В реальных сетях триангуляции треугольники несколько отступают от равносторонней формы. Однако в среднем для обширной по размерам геодезической сети соотношения (1) длин сторон треугольников должны более или менее точно соблюдаться, в противном случае общее число пунктов в сети может оказаться неоправданно завышенным. Среднее число пунктов разных классов на любой площади Р картографируемой территории можно рассчитать по формулам

где - площадь, обслуживаемая одним пунктом -го класса (i =1,2,3,4).Результаты вычислений следует округлять до целого десятка. В качестве примера по этим формулам определим число пунктов 3-4 классов на площади Р = 200 км 2 при n 1 = 0, n 2 =2 .

Для триангуляции 3 класса:

Для триангуляции 4 класса:

Следовательно, на площади снимаемой территории Р=200 км 2 должны запроектировать 11 пунктов, то есть 2 пункта 2 класса, 2 пункта 3 класса и 7 пунктов 4 класса.

3.2. Построение триангуляционной сети

При разработке графического проекта сети особое внимание следует обращать на выбор местоположения каждого отдельного пункта. Все пункты государственной геодезической сети должны быть расположены на командных вершинах местности. Это необходимо для того, чтобы, во-первых, обеспечить взаимную видимость между смежными пунктами при минимальных высотах геодезических знаков, во-вторых, возможность развития в будущем сети в любом направлении. Длины сторон между смежными пунктами должны соответствовать требованиям инструкции. Во всех случаях геодезические пункты должны находиться в таких местах, где будет обеспечена сохранность их положения в плане и по высоте в течение длительного времени. Поскольку на постройку геодезических знаков расходуется в среднем 50-60 % всех затрат на создание сети, необходимо уделять самое серьезное внимание выбору мест для установки пунктов на местности с целью снижения их высоты.

При проектировании сетей триангуляции разных классов важное значение имеет обеспечение надежной привязки сетей более низкого класса к сетям более высокого класса.

Рис. 1. Схемы привязки геодезических сетей к сторонам (а) и пунктам (б) триангуляции высшего класса

Рис.2. Схемы построения сетей триангуляции

После того как все пункты будут нанесены на карту, их соединяют прямыми линиями. На отдельном листе вычерчивают схему запроектированной сети, на которую выносят названия пунктов, длины сторон в километрах, значения углов в треугольниках с точностью до градуса, высоты земной поверхности с точностью до метра. Углы измеряют транспортиром по топографической карте. Суммы углов в треугольниках должны равняться 180º, а в полюсе центральной системы 360º. Длины сторон измеряются линейкой. Под схемой приводятся условные обозначения исходных сторон, сторон триангуляции и пунктов сети.

3.3. Расчет высот знаков

На пунктах геодезической сети строят геодезические знаки такой высоты, чтобы визирные лучи при угловых и линейных измерениях проходили по каждому направлению на заданной минимальной высоте над препятствием, не касаясь его. Сначала определяют приближенные высоты знаков l 1 ’ и l 2 ’ для каждой пары смежных пунктов, а затем корректируют их и находят окончательные значения высот l 1 и l 2 . Приближенные высоты знаков l 1 ’ и l 2 ’ (рис.3) вычисляют по формулам

где h 1 и h 2 - превышения вершины препятствия в точке С (c учетом высоты леса) над основаниями первого и второго знаков соответственно; а- установленная действующей инструкцией допустимая высота происхождения визирного луча над препятствием; u 1 и u 2 - поправки за кривизну Земли и рефракцию.

Знаки при h 1 и h 2 определяют по знакам разностей

h 1 =H c -H 1 ,

h 2 = H c -H 2 , (5)

где Н с - высота вершины препятствия в точке С; Н 1 и Н 2 - высота земной поверхности в местах установки первого и второго знаков.

Рис.3. Схема определения высоты геодезических знаков

Поправки v за кривизну Земли и рефракцию вычисляют по формуле

где k - коэффициент земной рефракции; R- радиус Земли; s- расстояние от препятствия до соответствующего пункта. При k = 0,13 и R=6371 км формула (6) примет вид

V=0,068s 2 , (7)

где v получают в метрах, a s выражено в километрах.

В том случае, если превышения h 1 и h 2 имеют один и тот же знак, а расстояния s 1 и s 2 существенно разные, высоты знаков l ’ 1 и l ’ 2 , вычисленные по формулам (4), будут значительно отличаться друг от друга: один знак низкий, а другой чрезмерно высокий (рис.4). Высокие знаки строить экономически невыгодно. Поэтому высоты знаков, вычисленные по формулам (4), необходимо откорректировать так, чтобы сумма квадратов окончательных высот знаков l 1 и l 2 была наименьшей, т. е. = min. При соблюдении данного требования расходы на постройку данной пары знаков будут, как правило, наименьшими, поскольку стоимость постройки каждого знака при прочих равных условиях почти пропорциональна квадрату его высоты.

Откорректированные высоты каждой пары знаков на концах стороны при соблюдении условия = min и выполнении требования о прохождении визирного луча на заданной высоте а над препятствием вычисляются по формулам

Рис.4. Схема корректирования высоты геодезического знака

На пункте с n направлениями будет получено n значений высоты знака, так как вычисления по каждой отдельной стороне (направлению) дадут разные значения высоты знака на данном пункте. За окончательную высоту принимают ту, при которой обеспечивается видимость по всем направлениям при минимальной (допустимой) высоте прохождения визирных лучей над препятствиями. Результаты расчетов высот геодезических знаков представить в таблице 4.

Таблица 4

Для наиболее сложных сторон построить профили, на которых кроме поверхности земли красной линией показать открывшуюся видимость после установки геодезического знака.

3.4. Предрасчет точности элементов сети триангуляции

Для уверенного использования окончательного варианта проекта геодезической сети необходимо иметь надежные численные характеристики слабых ее элементов. На составленной схеме находим слабые стороны сети. Слабая сторона находится по принципу равно удаленности ее от исходной стороны.

В качестве критерия точности принимается средняя квадратическая ошибка измеренных величин

где µ - средняя квадратическая ошибка единицы веса;

Р F – вес рассматриваемой функции.

За ошибку единицы веса принимается ошибка измеренных величин. Так как сеть еще проектируется, углы и длины, участвующие в предрасчете, определяются по топографической карте.

Средняя квадратическая ошибка слабой стороны n-треугольника, входящего в центральную систему или геодезический четырехугольник, определяется по формуле

где m lgb - средняя квадратическая ошибка логарифма исходной стороны;

m β - средняя квадратическая ошибка измерения угла в рассматриваемом классе триангуляции;

R i – ошибка геометрической связи трегольника.

Средняя квадратическая ошибка слабой стороны n-треугольника, являющегося элементом простой цепи треугольников определяется по формуле

Вычисление ошибки геометрической связи выполняется по формуле:

R i =δ 2 А i + δ 2 В i + δ А i * δ В i , (12)

где А i и B i – связующие углы в треугольниках;

δ А i , δ В i - приращения логарифмов синусов углов А и В при изменении углов на 1" в единицах 6-го знака логарифма. Значение δ можно определить по формуле

δ А i =МctgA i (1¤ρ")10 6 =2,11ctgA i . (13)

При предрасчете точности слабой стороны по средним квадратическим ошибкам, полученным по двум ходам, вычисляется среднее весовое значение по формуле:

где m lgS 1 и m lgS 2 средние квадратические ошибки определения от базиса по 1 и 2 ходам.

Относительную ошибку найдем по формуле

Пример. Запроектированная сеть триангуляции 3 класса состоит из центральной системы (рис.5). Слабой является сторона «Кленово-Завихрастово», выполним предрасчет ее точности, результаты вычисления ошибки геометрической связи по первому и второму ходу представим в таблице 5.

Рис.5.Фрагмент сети

Таблица 5

m lgS1 =5,11 ; m lgS2 =4,86; m Sn(ср) =3,52;

Вывод: Полученная относительная ошибка слабой стороны удовлетворяет требованиям инструкции для сети триангуляции 3 класса.

Предрасчет точности в триангуляции 4 класса выполняется аналогичным способом.

3.5. Расчет качества сети строгим способом

Расчет качества сети строгим способом произведем на примере сети, изображенной на рис.6. Для этой сети имеем имеем 9 независимых условных уравнений: 7 уравнений фигур, 1 условие горизонта, 1 полюсное условное уравнение. Исходные данные приведены в табл. 6

Таблица 6

Рис.6. Сеть триангуляции 3 класса

Условные уравнения фигур:

(1) + (2) + (3) + W1 = 0

(4) + (5) + (6) + W2 = 0

(7) + (8) + (9) + W3 = 0

(10) + (11) + (12) + W4 = 0

(13) + (14) + (15) + W5 = 0

(16) + (17) + (18) + W6 = 0

(19) + (20) + (21) + W7 = 0

Условные уравнения горизонта

(1) + (5) + (8) + (11) + (14) + (17)+ W8 = 0

Полюсные условные уравнения.

После логарифмирования, приведя к линейному виду, будем иметь

δ 2 (2)-δ 3 (3)+δ 4 (4)-δ 6 (6)+δ 7 (7)-δ 9 (9)+δ 10 (10)-δ 12 (12)+δ 13 (13)-δ 15 (15)+δ 16 (16)-δ 18 (18)+W9=0

Для составления весовой функции определяем слабую сторону по известному базису.

На основании полученной системы уравнений составим таблицу коэффициентов условных уравнений и весовой функции (табл. 7). Значения δ n вычислены по формуле δ=2,11ctgβ.

Таблица 7

Коэффициенты условных уравнений

Так как мы имеем большое число условных уравнений, наиболее целесообразно вычислять обратный вес функции методом двухгруппового уравнивания. Обратный вес вычисляется по формуле

где f – коэффициенты заданной функции, для которой находят среднюю квадратическую ошибку; a, b, … - коэффициенты первичного, вторичного и т.д. преобразованных уравнений второй группы; , , … - суммы коэффициентов заданной функции по тем поправкам первого, второго и т.д. уравнений фигур первой группы, которые входят в выражение функции;

n 1, n 2 , … - число поправок, входящих соответственно в первые, вторые и т.д. уравнения фигур первой группы.

При разделении уравнений на две группы в первую группу включают все уравнения фигур (для нашей сети, т.к. нет перекрывающихся треугольников). Во вторую группу войдут все остальные уравнения и весовая функция, т.е. уравнение горизонта, полюса и уравнение функции.

Таблица 8

Коэффициенты условных уравнений первой группы

I= 2 /n 1 + …+ 7 /n 7 = 0,33+0,05+0,003+0,41=0,79

Преобразованные коэффициенты вычисляются по формуле

А=а-[а]/n; В=b-[b]/n,

где А, В – преобразованные коэффициенты; n – число углов, входящих в треугольник; [а]/n – среднее значение непреобразованных коэффициентов в треугольнике; [а] – сумма непреобразованных коэффициентов в треугольнике.

Таблица 9

Таблица преобразованных уравнений второй группы и определение коэффициентов нормальных уравнений